Kapitel 3 Mehrparametrische Modelle

Abbildung 3.1: Hierarchie ausgewählter Count-Modelle. In Klammern: Zu schätzende Parameter der zugrundeliegenden Verteilung

Zweiparametrische Modelle haben neben dem Parameter für den Erwartungswert einen weiteren Parameter für die Dispersion, was wir natürlich insbesondere im Kontext der Dispersionsproblematik sehr nützlich finden.
Alle hier aufgeführten Modelle (inklusive der zero-inflation models) können als Verallgemeinerung der Poisson-Verteilung um (mindestens) einen weiteren Parameter aufgefasst werden. Die Unterschiede liegen hauptsächlich in der Parametrisierung und den damit zusammenhängenden Einschränkungen. Die Negative Binomialverteilung und die Poisson Inverse Gaussian zum Beispiel erweitern beide die Poisson um einen Dispersionsparameter, machen aber unterschiedliche Annahmen zur Verteilung der Varianz (gamma- vs. invers-normalverteilt).

Tabelle 3.1 zeigt eine Reihe von Verteilungen mit entsprechend parametrisierter Varianz abhängig vom Erwartungswert \(\mu\) und einem Dispersionsparameter \(\alpha\).

Tabelle 3.1: Ein Überblick einiger Modelle mit Varianzparametrisierung (nach Hilbe (2014), p. 12).

Model	Mean	Variance
Poisson	\(\mu\)	\(\mu\)
Negative Binomial I (NB1)	\(\mu\)	\(\mu (1 + \alpha) = \mu + \alpha\mu\)
Negative Binomial II (NB2)	\(\mu\)	\(\mu (1 + \alpha\mu) = \mu + \alpha\mu^2\)
Negative Binomial-P (NBP)	\(\mu\)	\(\mu (1 + \alpha\mu^p) = \mu + \alpha\mu^p\)
Poisson Inverse Gaussian (PIG)	\(\mu\)	\(\mu (1 + \alpha\mu^2) = \mu + \alpha\mu^3\)
Generalized Poisson (GP)	\(\mu\)	\(\mu (1 + \alpha\mu)^2 = \mu + 2\alpha\mu^3 + \alpha^2\mu^3\)

Literatur

Hilbe, Joseph M. 2014. Modeling Count Data. Cambridge: Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9781139236065.